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Aritmética

Parte de las Matemáticas que se ocupa del estudio de los números. Sus principios están ligados a los albores de la Humanidad, ya que muy pronto el hombre necesitó cuantificar para fijar las dimensiones de su patrimonio. Está claro que aquel hombre prehistórico, ganadero, necesitaba saber el número de ovejas que poseía, la cantidad de pieles de que disponía, etc. De esta manera, surgieron los números naturales (N), a los que hoy día definimos como enteros y positivos y que son los que nos sirven para contar. Aunque en un primera situación, las familias eran unidad de producción y de consumo, la división del trabajo estableció una especialización que condujo a una superproducción. De esta forma, sucedía, por ejemplo, que un determinado grupo familiar tenía exceso de leche pero carencia de pieles y otro estaba en la situación opuesta. La necesidad de conseguir aquello de lo que se carecía fue el origen del comercio, basado en un principio en el trueque. En cualquier actividad...

Estadística y probabilidad

El origen de la estadística se pierde en la noche de los tiempos. Hay evidencias de que los asirios empleaban rudimentarios recursos de esta disciplina y, quizá, aún antes de ellos, ya había sido utilizada. Algunos restos arqueológicos encontrados en la isla de Cerdeña han sido interpretados por los expertos como expresiones estadísticas de la cuantificación de las poblaciones y de las cabañas animales, de las piezas cazadas y de otros aspectos que ellos consideraban de interés. Se sabe que el monarca asirio Sargón II fundó en Nínive una biblioteca con los censos realizados en su imperio y que los egipcios llevaban prolijas y cuidadosas cuentas, con la supervisión directa del Faraón, sobre sus movimientos demográficos. En el mundo romano, la estadística fue usada abundantemente. Augusto ordenó la realización de un estudio sobre la riqueza, recursos naturales, ejército, navíos, etc, con que contaba el Imperio Romano, estudio que debía renovarse cada cinco años. En Europa, los...

Funciones

Una variable es un ente que puede asumir un conjunto de valores, que se denominan campo de variabilidad. Una función es una correspondencia entre dos variables, x e y, de manera que define un conjunto de pares ordenados (x,y), ninguno de los cuales tiene el mismo primer elemento. Las funciones más notables son las reales de variable real. En ellas, la variable x, primer elemento del par, pertenece al conjunto de partida, denominándose variable independiente. Por su parte, la variable y, del conjunto de llegada, cuyos valores vienen supeditados por los que haya tomado la primera, se llama variable dependiente o función. La relación entre ambas variables se representa por el símbolo y = f(x), igualdad que se denomina ecuación de la función. Este tipo de funciones puede ser de dos clases: empíricas y matemáticas. Las primeras no están regidas por leyes matemáticas y en ellas no se puede predecir el valor de la función para un determinado valor de la variable. En las segundas, ambas...

Geometría

De forma genérica, podría definirse como la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las figuras, sus propiedades y su relación con el plano. Al parecer, se inició en Babilona y en Egipto, con especial incidencia en este último país, debido a la abundancia de edificaciones y obras hidráulicas que allí se realizaron. No obstante, la construcción de la Geometría se inició de forma sistemática en el mundo griego con las bases sentadas por Euclides, quien formuló los postulados que le sirven de fundamento, y con las sucesivas aportaciones que hicieron los filósofos helenos, a partir del siglo VII a. C. En este sentido, hay que mencionar a Tales de Mileto, a Anaxágoras, a Pitágoras, a Arquímedes, etc, por sólo citar algunos entre una extensísima nómina. El mundo romano no prestó demasiada atención a la Geometría, y fue a través de los árabes como se transmitieron a la Europa medieval los conocimientos del mundo griego. Geberto, Campano y Abelardo fueron pioneros en extender...

Instituto Clay

Fundación sin ánimo de lucro dedicada al fomento y divulgación de los conocimientos de las matemáticas. El Instituto Clay fue fundado por Landon T. Clay y Arthur Jaffe en 1998 y ofrece varios premios y distinciones de alto reconocimiento internacional para los logros matemáticos. Esta institución patrocina el trabajo de los investigadores en matemáticas en diversas fases de su carrera y organiza y financia talleres, conferencias y una escuela de verano anual. Concede el Premio de Investigación Clay, que reconoce anualmente un logro extraordinario en el campo de las matemáticas, y también el galardón pensado para recompensar económicamente a aquellos investigadores que consigan resolver los llamados problemas del milenio. Estos problemas son cuestiones que se consideran las más importantes de la investigación pendiente en las matemáticas. Los conocidos como Premios del Milenio fueron establecidos en mayo de 2000 y se extienden a siete problemas conocidos y bien determinados...

Las matemáticas como ciencia

El ser humano ve en las matemáticas una de sus creaciones más universales. Dotada de un lenguaje simbólico propio muy poderoso, la ciencia matemática trasciende las fronteras del idioma y puede ser comprendida sin necesidad de traducciones por los especialistas de todas las nacionalidades. Esta realidad ha llevado algunas veces a realizar propuestas tan ilustrativas como extravagantes. Éste es el caso, por ejemplo, de la presentada por el alemán Carl Friedrich Gauss, uno de los matemáticos más luminosos de la historia, quien, en 1920, se preguntó cómo podría advertirse a unos supuestos extraterrestres de la existencia de vida inteligente en nuestro planeta. Como respuesta, el propio Gauss sugirió trazar un gigantesco triángulo rectángulo sobre los bosques de Siberia que reprodujera el teorema de Pitágoras. El supuesto que guiaba el razonamiento de Gauss es que, si existieran civilizaciones extraterrestres avanzadas, habrían de poseer conocimientos matemáticos idealizados que,...

Matemáticas

Etimológicamente, el término matemática procede de la palabra griega mathema, que significa algo así como conocimiento, aprendizaje. Suele emplearse en plural, por lo que es más frecuente oír hablar de matemáticas que de matemática. Aunque hay diversas definiciones sobre ella, atendiendo a distintos criterios, una bastante extendida es la que afirma que es la ciencia que estudia los números, los cuales son exponentes de las cantidades, de las formas de los cuerpos planos y espaciales y de sus relaciones. Otra definición es la que afirma que la matemática es el arte de definir estructuras, a través de una absoluta abstracción, y de establecer relaciones entre ellas. De la comparación de ambas definiciones surge una manera diferente de interpretar la matemática: como ciencia o como arte. En todo caso, se trata de una disciplina en la que, a partir de unos pocos postulados y axiomas se ha edificado un cuerpo de doctrina de tan absoluta solidez que, incluso en el lenguaje popular, lo...

Medalla Fields

Galardón internacional concedido cada cuatro años para reconocer descubrimientos sobresalientes en el campo de las matemáticas. Este premio se entrega en el marco del Congreso Internacional de Matemáticos, que tiene lugar con periodicidad tetraanual, y es concedido por la Unión Matemática Internacional. Debe su nombre al matemático canadiense John Charles Fields y comprende la entrega de una medalla y de una dotación económica de 10.000 euros. Como particularidad, los galardonados no deben haber cumplido cuarenta años antes del 1 de enero del año en el que se celebra el congreso. La Medalla Fields, que pretendía cubrir la ausencia de un Premio Nobel de Matemáticas, comenzó a entregarse a raíz de la resolución adoptada por el Congreso Internacional de Matemáticos que se celebró en Toronto, Canadá, en 1924.

Método científico

Bajo la denominación de método científico se conoce el desarrollo de hipótesis y deducción de leyes y teorías que conducen a predicciones, las cuales, una vez contrastadas experimentalmente, llevan a nuevas observaciones, en un proceso que se produce de manera continua y sin fin. El objetivo de las ciencias, especialmente de las experimentales, es establecer teorías que permitan conocer lo desconocido a partir de observaciones. Ello lleva a fundamentar los desarrollos teóricos en los resultados empíricos y, a su vez, a refrendar la validez de las teorías científicas por su valor predictivo o explicativo de los fenómenos naturales. Este conjunto de hipótesis contrastadas experimentalmente se reúne en un cuerpo doctrinal de conceptos y leyes de interrelación. El método científico concuerda la teoría con la experiencia y, además, es objetivo y tiene validez universal. Estas características se logran por medio de comprobaciones objetivas, independientes del observador. Precisamente,...

Método deductivo

En la antigüedad y en periodos posteriores no ha sido inhabitual que el ser humano busque explicación a los fenómenos del mundo que le rodea en las acciones de unos poderes ocultos identificados con diversos dioses. Así, por ejemplo, el hecho de que la cosecha de un año hubiera sido buena se comprendía por la benevolencia de la deidad de la agricultura y, si había sido mala, se justificaba por la irritación de esa misma deidad por alguna ofensa de los campesinos. Entre los primeros grupos de pensadores que rechazaron este tipo de justificaciones y en afirmar que el hombre puede explicarse todo con el único ejercicio de su capacidad de razonar fueron los filósofos griegos, conocidos con el nombre de presocráticos. Entre ellos, por su influencia en la matemática, puede citarse a Euclides y a Tales de Mileto. En el siglo IV a.C., Aristóteles aportó los principios de la lógica, que consideraba imprescindible para llegar a conclusiones correctas. El filósofo griego definió dos métodos...

Método inductivo

En el siglo IV a.C., Aristóteles, consciente de la importancia de la observación y la experiencia, definió la inducción como el método lógico que permitía pasar de lo particular (lo observado) a lo general (lo universal). En resumen, el método inductivo afirma que lo que se cumple en algunos casos es ampliable a otros, aunque éstos no se hayan presentado. En matemáticas, la inducción no se entiende literalmente en el sentido de lo anteriormente expuesto, sino más bien como un razonamiento que permite justificar una proposición dependiente de un parámetro, n, siguiendo este esquema:. Demostración de que la proposición es cierta para n = 1. Aceptación de que si es cierta para n = k, también lo es para n = k + 1. Así, por ejemplo, si se desea probar por inducción la igualdad:. 2 + 4 + 6 + ... + 2 n = n (n + 1). según lo dicho, se procederá de la siguiente manera:. Comprobación de que la igualdad es cierta para n = 1. Efectivamente:. 2 ·1 = 1 · (1 + 1). Si se admite que es...

Premio Abel

Galardón internacional concedido por el rey de Noruega a uno o varios matemáticos destacados. Fue instituido en 2002 por el Gobierno de Noruega y debe su nombre al matemático noruego del siglo XIX Niels Henrik Abel, nacido 200 años antes. Es coloquialmente considerado el «Premio Nobel de las Matemáticas». La dotación económica del Premio Abel se eleva a 6 millones de coronas noruegas, una cantidad cercana al millón de dólares, que deben dedicarse a la financiación de ulteriores investigaciones. El Premio Abel se complementa con el Holberg de humanidades, servicios sociales, leyes y teología. Su primer receptor fue el matemático francés Jean-Pierre Serre.

Reducción al absurdo

Los primeros geómetras surgieron en Egipto, Sumeria y Babilonia y sus trabajos estaban encaminados a solucionar cuestiones eminentemente prácticas, ligadas con la agrimensura y la construcción. Los griegos, desde el siglo VII a.C. en adelante, recogieron sus conocimientos, logrados por simple empirismo, y trataron de sistematizarlos, aplicando métodos científicos. Esta actitud fue seguida por los matemáticos de épocas posteriores. Cristalizaron en la creación de métodos de trabajo que, aunque no exclusivos de la geometría, son de profusa aplicación en este campo. Uno de ellos es la reducción al absurdo. Este método consiste en negar, en principio, lo que se quiere afirmar. Si razonando en este supuesto se llega a algo falso, evidentemente no cabe esa negación, con lo que la proposición de partida es cierta. Un ejemplo sencillo parte del siguiente teorema: “si dos rectas, a y b,son paralelas a una tercera, c, son paralelas entre sí”. Aplicando la reducción al absurdo se diría:...

Trigonometría

Parte de las matemáticas que estudia la relación entre los ángulos del polígono más sencillo, el triángulo, y sus lados. Sus consecuencias pueden extrapolarse a cualquier otro polígono, ya que éste puede descomponerse en triángulos. Además, permite considerar, incluso, relaciones entre elementos de figuras espaciales. Sin duda, su origen se halla en los problemas que, desde tiempos antiguos, le planteaban al hombre la navegación, la astronomía, la agrimensura y, muy a menudo, la determinación de distancias no accesibles. Los comienzos de la trigonometría (tri = tres, gonos = ángulo, metros = medida) se hallan en Babilonia y en Egipto, donde ya se determinó una forma de medir los ángulos, mediante el llamado sistema sexagesimal, sistema de base sesenta, en el que cada grado quedaba dividido en sesenta partes iguales, que se llamaban minutos, y cada minuto, a su vez, en sesenta partes iguales, cada una de las cuales se denominaba segundo. Se considera que el iniciador de esta rama...

Álgebra

Rama de las matemáticas que utiliza letras para representar cantidades aritméticas, logrando así una absoluta generalización. Su origen se atribuye a egipcios y babilonios, quienes necesitaban una herramienta que les permitiese solucionar los problemas comerciales y de mediciones de terreno que su actividad diaria les planteaba. Éstos fueron capaces de resolver ecuaciones lineales y cuadráticas, utilizando, prácticamente, algoritmos análogos a los actuales. Sus conocimientos pasaron al mundo griego, en el que Diofantos y Herón hicieron aportaciones notables; desde los helenos, las nuevas teorías se transmitieron a los árabes, quienes le dieron su nombre. El impulso que éstos dieron a la nueva ciencia fue de total importancia escribiendo, ya en el siglo IX, tratados sobre ella, en los que se recogían, de una forma sistematizada, todos los conocimientos existentes en la época. En el siglo XII, comenzaron a traducirse las obras árabes, lo que pronto suscitó que los matemáticos...