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Aplicaciones vectoriales

Se llama observable a todo fenómeno detectable por los sentidos. Cuando un observable es medible, recibe el nombre de magnitud. Así, por ejemplo, la belleza es un observable, pero no una magnitud. Sin embargo, la masa de un cuerpo y la velocidad de un móvil son magnitudes. Las magnitudes son de dos tipos: escalares y vectoriales. Las primeras quedan perfectamente determinadas por un solo dato (su valor). Por ejemplo, la altura de un edificio, el volumen de agua en un recipiente, etc. Este valor se determina por medio de un número real por lo que, frecuentemente, estas magnitudes se conocen por escalares. Una magnitud vectorial, por el contrario, es la que no queda determinada por un solo dato. Por ejemplo, si un piloto que va a despegar conoce únicamente que el viento sopla a 40 km/h, su información será incompleta, porque además del valor de esa velocidad necesitará saber si es de componente norte, sur, etc. Las magnitudes vectoriales se representan por medio de unos segmentos...

Cónicas

Conocidas ya en el mundo griego clásico, se llama cónicas a unas curvas planas obtenidas por la intersección de un plano con un cono. Existen tres clases de estas curvas: elipse, hipérbola y parábola. La elipse se obtiene al cortar un cono por un plano que no sea paralelo al plano de su base. Geométricamente, se define como el lugar geométrico de los puntos, cuya suma de distancia a dos fijos, llamados focos (F y F’), es una cantidad constante, que se suele designar por 2a. La elipse es una figura que posee dos ejes de simetría, vertical y horizontal, de distinto tamaño. Tomado un punto P cualquiera de ella, se verifica que:. PF + PF’ = 2 a. Tomando sus propios ejes como ejes coordenados cartesianos, la ecuación de la elipse es la siguiente:. En ella, a es el semieje mayor y b el semieje menor. Los focos tienen por coordenadas (c, 0) y (-c, 0), y se verifica que:. c2 = a2 – b2. Otro parámetro importante de la elipse es su excentricidad, que da idea del “achatamiento” de la...

Derivada de un vector

Supóngase un vector, , cuya dirección e intensidad cambian con respecto a una variable determinada, t. Es evidente que, en estas condiciones, sus componentes serán variables en función de la magnitud t, con lo que:. = vx(t) + vy (t). Se denomina derivada del vector , con respecto a la variable t al vector que tiene por componentes las derivadas de las componentes de . Así pues:. v’x (t) + v’y. Ejemplo. La derivada del vector:. (5t3 + 6t – 2) + (4t2 – 1). es el vector:. (15t2 – 6) + 8t. Las normas para derivar vectores son similares a las existentes para funciones. Así:. La derivada de una suma algébrica de vectores es igual a la suma algebraica de las derivadas de dichos vectores. La derivada del producto escalar de dos vectores es igual a la derivada del primero, multiplicada escalarmente por el segundo, más la derivada del segundo, multiplicada escalarmente por el primero. Como propiedad notable de la derivación de vectores, merece destacarse que la derivada de un...

Ecuación trigonométrica

Se denominan ecuaciones trigonométricas aquellas en las que la incógnita figura afectada por alguna razón trigonométrica. En general, se resuelven logrando que en la ecuación sólo figure una misma razón, con lo que, tomando a ésta como incógnita, se puede aplicar las normas generales del álgebra. Debe ponerse especial cuidado, dada la periodicidad de las razones, para aportar todas las soluciones del problema. Problema 1. Resolver:. cos 2x = 5 – 6 cos2 x. Solución. Como el valor del ángulo doble viene dado por:. cos 2x = cos2 x – sen2 x. sustituyendo esta expresión en la ecuación dada:. cos2 x – sen2 x = 5 – 6 cos2 x. Y como:. sen2 x + cos2 x = 1 sen2 x = 1 – cos2 x. se tendrá que:. cos2 x – (1 – cos2 x) = 5 – 6 cos2 x 8 cos2 x = 6. Resolviendo, se obtienen las dos soluciones:. cos x = ; cos x =. Si cos x = x = o bien x =. Si cos x = x = o bien x =. Problema 2. Calcular tg x, sabiendo que:. 4 sen 2x + 3 cos 2x = 3. Solución. Como:. sen x = ; cos x = (1). Y...

Ecuación vectorial y paramétrica de la recta

Una forma muy interesante de definir una recta es mediante un vector de posición de los puntos de la misma. Esta expresión recibe el nombre de ecuación vectorial. . P(x,y). . A(x1, y1). r. O. Sea una recta, r, y considérese sobre ella un punto concreto de la misma, A(x1, y1), un punto genérico, P(x,y) y un vector, , situado también sobre dicha recta. La definición de la suma de vectores nos permite escribir que:. (1). Como los vectores y tienen igual dirección, diferenciándose sólo en el módulo, podemos expresar que:. siendo t un escalar. Sustituyendo en (1):. (2). que es la ecuación vectorial de la recta r. Mediante ella, al ir variando t se puede determinar cualquier punto de la recta en función de un punto fijo de la misma, A(x1,y1) y un vector situado sobre la recta (el ), que recibe el nombre de vector director. Según la figura:. ;. Designando por vx y vy las componentes del vector , se cumplirá que:. con lo que (2) puede escribirse como:. Expresando la...

Elementos de geometría plana

Elementos de geometría plana. Geometría significa literalmente «medida de tierras». Esta etimología alude al primer uso que se dio a esta ciencia, de índole práctica. Cuando los primeros grupos humanos se asentaron en tierras permanentes, donde practicaron la agricultura y establecieron sus poblados, se hizo cada vez más necesaria una técnica que ayudara a delimitar las lindes de los cultivos y a dirimir los problemas derivados de la propiedad así como la cantidad de tributos que había de rendirse a la comunidad o a su señor máximo. Los primeros geómetras de la historia parcelaron imaginariamente estos terrenos en combinaciones de cuadrados, rectángulos, triángulos y otras figuras, para poder medirlos. Idearon procedimientos de simplificación de sus cálculos, como el teorema de Pitágoras que, aunque formulado de manera elegante por este sabio griego, era ya conocido de algún modo por civilizaciones anteriores. Hoy la geometría se ha desarrollado en ramas muy numerosas, algunas de...

Figuras circulares

Se llama figuras circulares a aquellas que se derivan de la circunferencia o el círculo al considerar parte de ellos. Debe recordarse que la longitud de una circunferencia (L) y la superficie de un círculo (S) en función de su radio (R) son:. L = 2 · · R; S = · R2. Longitud de un arco de circunferencia. Designando por n, en grados sexagesimales, la amplitud del ángulo que abarca al arco considerado, el hecho de que una circunferencia completa sea un arco de 360º permite plantear la siguiente regla de tres: si a 360º le corresponde una longitud de 2 · · R, a nº le corresponderá l. Por tanto:. l =. Superficie el sector circular. Un sector circular es la porción de círculo limitada entre dos radios y el arco que éstos delimitan. Se llamará amplitud del sector al valor del ángulo que forman los radios que lo definen. Teniendo en cuenta que un círculo completo es un sector de 360º, llamando n, en grados sexagesimales, a la amplitud del sector que se considera, se puede plantear la...

Figuras esféricas y truncadas

Figuras esféricas. Se llaman figuras esféricas las que se pueden obtener a partir de una esfera o de una superficie esférica. Son el huso y la cuña esférica, el casquete esférico y la zona esférica. Se denomina huso esférico a la parte de superficie esférica comprendida entre dos planos que pasan por el centro de la misma. La cuña esférica es la porción de esfera comprendida entre dos planos que pasan por su centro. El área del huso esférico es:. S = (r = radio de la esfera; n = número de grados del huso). El volumen de la cuña esférica es:. V = · (r = radio de la esfera; n = número de grados del huso). El casquete esférico es la porción de esfera que resulta de cortar a ésta por un plano. Su área es:. S = 2 · · r · h. siendo h la altura del casquete. El volumen del casquete esférico se obtiene como:. V =. Finalmente, la zona esférica es la porción de esfera comprendida entre dos planos paralelos. Su área es:. S = 2 · · R · h. siendo h la distancia entre los dos...

Fractal

Un fractal es una estructura iterativa que goza de la propiedad de la autosemejanza o autosimilitud, según la cual su forma y su aspecto global no cambian con independencia de la escala a la que se observen. En un objeto fractal cualquiera de sus partes a una determinada escala tiene igual aspecto y forma que otra parte tomada a una escala superior o inferior. Si se mirara dicho objeto con el zoom de una cámara fotográfica o con el objetivo de un microscopio se apreciarían las mismas formas en cualquiera de los aumentos que se eligieran. La idea de los fractales como abstracción matemática es relativamente moderna. De hecho, el término fue propuesto en 1975 por el matemático francés de origen polaco Benoît Mandelbrot, como una derivación del latín fractus (“quebrado o fracturado”). Sin embargo, estos objetos están muy presentes en la naturaleza, de una forma aproximada e infinitamente compleja. El ejemplo clásico de fractal natural propuesto por Mandelbrot es la línea de costa que...

Fórmulas de Briggs

En ciertos casos, las denominadas fórmulas de Briggs son de gran utilidad en la resolución de triángulos oblicuángulos. Proporcionan el seno, coseno y tangente del ángulo mitad de cualquiera de los ángulos del triángulo. En un triángulo ABC, referidas al ángulo A, son:. sen. cos. tg. En todas estas fórmulas, p es el semiperímetro del triángulo. Es decir, si los lados del mismo son a, b, c, el valor de p es:. p =. Naturalmente, basta con llevar a cabo una permutación circular de los elementos de cada expresión para determinar las fórmulas de Briggs correspondientes a los otros ángulos. Problema. Hallar los tres ángulos de un triángulo ABC, sabiendo que sus lados son:. a = 5 m; b = 7,5 m; c = 10,14 m. Solución. El perímetro del triángulo dado es:. P = 5 + 7,5 + 10,14 P = 22,64. Por lo que su semiperímetro, p, es:. p = p = 11,32 m. Aplicando las fórmulas de Briggs:. tg. Por medio de la calculadora:. 14,14º A = 28,28º. Del mismo modo:. tg. Con ayuda de la calculadora,...

Geometría circular. Polígonos y cuerpos en el espacio

Geometría circular. Polígonos y cuerpos. en el espacio. La expansión griega a Egipto y al oriente con los ejércitos de Alejandro Magno dejó una huella perdurable en la ciudad de Alejandría, fundada por el conquistador macedonio en el siglo IV a.C. Esta ciudad heredó el florecimiento de la filosofía y el saber clásico de las escuelas atenienses y acogió una de las grandes maravillas de la antigüedad: una biblioteca que llegó a contar con cerca de un millón de volúmenes en su momento de máximo esplendor. La voluntad recopiladora del saber humano personificada en esta ciudad egipcia a orillas del Mediterráneo encontró una de sus cimas en la figura de Euclides, un personaje de vida prácticamente desconocida para la posteridad y que tuvo un gran influjo en el desarrollo de la ciencia ulterior. De los escritos de Euclides se desprende que acaso no fuera más que un compilador de las matemáticas de su tiempo. No obstante, su libro, conservado con el título de Elementos, ha nutrido a los...

Medidas y unidades

Un observable es cualquier fenómeno que se pueda detectar por los sentidos. Que “La Gioconda” es una obra de arte o que un determinado jugador de baloncesto es muy alto son observables. Sin embargo, entre ellos, hay una clara diferencia: nadie puede cuantificar el arte de “La Gioconda”, y en cambio sí puede hacerlo con la estatura del jugador. Estos observables que pueden ser medidos se denominan magnitudes. Medir una magnitud es compararla con la unidad, la cual es una cantidad arbitraria de dicha magnitud perfectamente definida. A lo largo del tiempo, se ha establecido un gran número de sistemas de unidades que, en ocasiones sólo era comprendido por los habitantes de una nación e, incluso, únicamente por los de una región. Para mayor embrollo, una unidad designada con un determinado nombre en un lugar no tenía el mismo valor que en otro. Ello puso de manifiesto la necesidad de establecer un sistema único de unidades que fuese comprensible por todas las personas. Para la ciencia,...

Mosaicos de Penrose

Los mosaicos de Penrose son estructuras matemáticas constituidas por la unión en grupos de filas paralelas de elementos geométricos sencillos no periódicos. Su empleo tiene como finalidad conformar una teselación de acuerdo con unas normas de configuración fijas. Estos mosaicos fueron propuestos en la década de 1970 por el matemático y físico inglés Roger Penrose, también destacado como filósofo de la ciencia. En general, un mosaico consiste en una descomposición de una superficie plana en un conjunto de elementos, denominados teselas, que se encajan entre sí para cubrir la superficie por completo. Estos dibujos son muy habituales en la vida corriente, desde sus formas artísticas (son muy conocidos los mosaicos de las villas de la Roma antigua) hasta sus usos más funcionales, por ejemplo, para pavimentar una acera. La forma más sencilla de teselar una superficie, esto es, cubrirla completamente con las teselas de un mosaico, consiste en utilizar elementos periódicos, que se repiten...

Norma de un vector

Se llama norma de un vector y se representa por a la raíz cuadrada del producto escalar de dicho vector por sí mismo. Es decir:. =. Analíticamente:. = (a, b) =. Ejemplo. Hallar la norma del vector:. = 3 - 2. Según lo expuesto:. = =. De forma análoga se define la norma para un vector definido en el espacio. Es decir:. = a + b + c = · =. Como puede comprobarse, el valor de la norma de un vector coincide con el del módulo de éste. Dado un vector, , su norma tiene las siguientes propiedades:. La norma de un vector es nula sólo si dicho vector es nulo. Es decir:. = 0. La norma de un vector no nulo es siempre positiva. O sea:. > 0 0. La norma del producto de un escalar por un vector es igual al escalar por la norma del vector. El cuadrado de la norma de un vector es igual al producto escalar del vector por sí mismo. Esta propiedad, en definitiva, es consecuencia de la propia definición de norma. Dados dos vectores, y , sus normas cumplen la llamada propiedad triangular,...

Potencia de un punto

Si se considera una circunferencia de radio r y un punto P y se traza desde él una secante cualquiera a dicha circunferencia, se llama potencia de P con respecto a la circunferencia dada al producto de los segmentos PA y PB así definidos. Por tanto:. El valor de la potencia es independiente de la secante trazada. Por ejemplo, si se traza la secante que corta a la circunferencia en C y D, la potencia sería:. que es de igual valor que la anterior. En efecto, dado que los triángulos PBC y PDA son semejantes (tienen común el ángulo P e iguales los ángulos D y B, ya que abarcan el mismo arco), se puede escribir que:. lo que demuestra la igualdad de (1) y (2). Dado que la potencia es independiente de la secante trazada, si se elige la que pasa por el centro de la circunferencia, llamando d a la distancia de P a ese centro:. Esta expresión de la potencia permite determinar la posición del punto P con respecto a la circunferencia, ya que:. Si  Pot > 0       d > r y el punto es...

Problemas de geometría plana

Se expone a continuación un conjunto de cuestiones que relacionan diversos aspectos de la geometría plana. Problema 1. Hallar los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que su perímetro es 60 m y que la diferencia entre la hipotenusa y el cateto mayor es igual a la diferencia entre los catetos. Solución. Sean x, y, z el cateto mayor, el menor y la hipotenusa, respectivamente, del triángulo buscado. Según el enunciado y teniendo en cuenta que, por tratarse de un triángulo rectángulo, deberá cumplirse el teorema de Pitágoras:. x + y + z = 60. z – x = x – y. x2 + y2 = z2. De la segunda ecuación:. z = 2x – y (1). Sustituyendo este resultado en la primera ecuación:. x + y + 2x – y = 60 x = 20 m. Sustituyendo (1) en la tercera:. x2 + y2 = (2x – y)2 x2 + y2 = 4x2 + y2 – 4xy 3x = 4y y = 15 m. Sustituyendo en (1) los valores de x e y:. z = 2·20 – 15 z = 25 m. Problema 2. Una circunferencia tiene 60 m de diámetro. ¿A qué distancia de su centro habrá que tomar un punto para...

Problemas de razones trigonométricas

Todo ángulo tiene asociados a él seis números (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) denominados razones trigonométricas del mismo. Dado que estas razones están ligadas por una serie de fórmulas, basta con conocer una de ellas para determinar las restantes. Así pues, para la resolución de problemas de razones trigonométricas es preciso tener presentes las siguientes equivalencias matemáticas:. ctg A = (1) sen A = (5). sec A = (2) cos A = (6). cosec A = (3) 1 + tg2 A = sec2 A (7). sen2 A + cos2 A = 1 (4) 1 + ctg2 A = cosec2 A (8). tg A = (9). Problema 1. Sabiendo que sen A = , hallar las demás razones trigonométricas del ángulo A, el cual se halla en el primer cuadrante. Solución. Aplicando (4):. sen2 A + cos2 A = 1 cos A =. Como el ángulo se encuentra en el primer cuadrante, su coseno es positivo, luego:. cos A =. Aplicando ahora la fórmula (9):. tg A = tg A = tg A =. Hallando las correspondientes inversas de las razones que tenemos:. ctg A = ; sec A...

Problemas de semejanzas

La idea de semejanza, concebida como forma de proporcionalidad, aparece ya en los geómetras del mundo griego clásico. Dadas dos series de segmentos rectilíneos, a, b, c, .. y a’, b’, c’, ..., se dice que son proporcionales cuando se verifica que:. En el siglo VII a.C., Tales de Mileto enunció su conocido teorema, que afirmaba que los segmentos determinados por rectas paralelas sobre dos rectas que se cortan son proporcionales. a a’. b b’. Así, en la figura adjunta, se cumpliría que:. La noción de semejanza es extrapolable a cualquier figura, y alcanza gran importancia en los polígonos. Se dice que dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales. A. A’. B C B’ C’. D E D’ E’. Por ejemplo, la semejanza entre los dos pentágonos representados, exige que:. A = A’; B = B’; C = C’; D = D’. Además:. Prescindiendo de rigorismos matemáticos, puede decirse que dos figuras semejantes son iguales en todo, excepto en el tamaño. Por ejemplo,...

Problemas de triángulos

Resolver un triángulo es hallar todos sus lados y ángulos a partir de unos datos. En términos generales, pueden distinguirse dos casos, ya se trate de triángulos rectángulos o triángulos oblicuángulos. Resolución de triángulos rectángulos. Basta con manejar las definiciones de razones trigonométricas, teniendo además en cuenta que en este tipo de triángulos se verifica:. Teorema de Pitágoras: Designando por a la hipotenusa del triángulo y por b y c sus catetos:. a2 = b2 + c2. Como en todo triángulo la suma de sus ángulos es 180º y en los rectángulos A = 90º, la suma de sus ángulos agudos será también 90º. Es decir:. B + C = 90º. Resolución de triángulos oblicuángulos. Se pueden plantear cuatro casos. En cualquiera de ellos, siempre se conocerán tres elementos (en un triángulo hay seis elementos: tres lados y tres ángulos), entre los cuales debe figurar necesariamente un lado. Si el triángulo es oblicuángulo, el conocimiento de sus tres ángulos no basta para determinarlo, pues...

Puntos de un triángulo

En todo triángulo ABC, existe un conjunto de puntos que tienen importantes propiedades. Son el incentro, el circuncentro, el baricentro, el ortocentro y el exincentro. - Incentro. Las tres bisectrices de un triángulo, se cortan en un punto, llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita de dicho triángulo, es decir, tangente a sus tres lados. - Circuncentro. Las tres mediatrices de cualquier triángulo se encuentran en un punto, denominado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, de la circunferencia que pasa por los tres vértices del mismo. - Baricentro. En un triángulo, recibe el nombre de mediana el segmento que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto. En los triángulos isósceles, la mediana correspondiente al ángulo desigual coincide con la bisectriz y con la altura de dicho ángulo. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto, llamado baricentro que se encuentra a de cada una de ellas a...