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Algoritmo de Euclides

Se llama algoritmo de Euclides a un método para hallar rápidamente el máximo común divisor (m.c.d.) de dos números sin necesidad de descomponerlos previamente en factores primos. Dados dos números a y b,cuando se desea halla el m.c.d. (a,b), suponiendo que a < b, el algoritmo se aplica en estos pasos sucesivos:. Se divide b entre a, con lo que se obtendrá un cociente, c, y un resto, r, por lo que:. b = a·c + r. Si r = 0, entonces a divide a b, con lo que m.c.d. (a,b) = a. Si , entonces r = b – a·c, con lo que cualquier número que divida a b y a a, dividirá también a r, ya que sabemos que si un número divide a dos, divide también a su diferencia. Entonces:. m.c.d. (a,b) = m.c.d. (a,r). Continuando este proceso, se llegará a una división en la que r será nulo. El máximo común divisor buscado será entonces el último divisor empleado. Por ejemplo, hallemos el m.c.d. (144, 36). 144 : 36 = 4. Luego:. m.c.d. (144, 36) = 36. Hallemos ahora el m.c.d. (144, 60). Operando según lo...

Algoritmos

En Matemáticas, un algoritmo es un conjunto de reglas que sirve para realizar una operación o para solucionar un problema. Cuando, por ejemplo, se enseña a un niño a sumar, se le da una serie de normas, como es la de colocar las cantidades a adicionar de manera que las cifras de las unidades queden todas ellas en la misma columna, ídem con las de las decenas, etc.; que se empiece a sumar por la columna de las unidades y que si esta adición pasa de diez, se añada el dígito correspondiente a la columna de las decenas, etc. Pues bien, todas esas reglas constituirían el algoritmo de la suma. Para que un conjunto de normas pueda ser considerado un algoritmo, debe cumplir unos requisitos. El primero es que las instrucciones deben estar en número finito, siendo, además, necesario el aplicarlas en un determinado orden secuencial. El segundo es que la aplicación del algoritmo proporcione siempre el mismo resultado. En resumen, debe suceder que:. Un determinado agente, humano o no, decide...

Complemento a dos

Se llama complemento a dos a una forma de representación de números que reduce a sumas todas las restas que lleva a cabo un computador. En primer término, se definirá el complemento a uno de un número, que es la expresión que se obtiene cambiando en su codificación binaria los ceros por unos y los unos por ceros. Por ejemplo, el complemento a uno de 11001001 sería 00110110. El complemento a dos de un número binario es el logrado sumando 1 a su complemento a uno. Por ejemplo, si se desea hallar el complemento a 2 del número anterior, se actuaría del siguiente modo:. 1 1001001 Complemento a 1 = 00110110 Complemento a 2 = Complemento a 1 + 1 = 00110110 + 1 = 00110111. Inversamente, para decodificar un número decimal en complemento a dos, basta con separar el bit (es decir, el 0 ó el 1) más a la izquierda y pasar a sistema decimal el resto de la expresión binaria. Si el bit separado es 0, el número así logrado es positivo y si es 1, el número será negativo. Por ejemplo, si tenemos el...

Código magnitud-signo

De absoluto interés para la representación de números en sistemas informáticos, el código magnitud-signo consiste en añadir un bit a la izquierda de la expresión binaria de la cantidad en cuestión, que revele el signo de ésta. Por convenio, dicho bit toma los valores 0 y 1, según que se trate de números positivos o negativos, respectivamente. Así, dado que el número 58 en sistema binario es 111010, las cantidades +58 y -58 serían, respectivamente:. 0111010 y 1111010. Análogamente, si se deseara saber qué número decimal representa la expresión binaria 11001011, se tomarían los siete primeros dígitos, empezando por la derecha, con lo que se obtendría 1001011. Este número binario equivale a:. 1·20 + 1·21 + 0·22 + 1·23 + 0·24 + 0·25+ 1·26 = 1+2+8+64 = 75. Como el bit más a la izquierda (el no considerado) es 1, según lo dicho, el signo de la cantidad es el negativo, luego:. 11001011 = -75.

Códigos alfanuméricos

Los códigos alfanuméricos sirven para representar en computadoras datos que se componen de números y letras, por lo que otorgan códigos binarios a cada dígito y a cada letra del alfabeto. Además, utilizan caracteres especiales como, por ejemplo, $. Si se consideran los diez dígitos decimales y las 26 letras del alfabeto, se obtendrá un grupo de 36 elementos. Por tanto, la codificación deberá hacerse con un mínimo de 6 bits, ya que 26 = 64. En la práctica, sin embargo, son muy utilizados los códigos binarios de longitud fija, mediante los que se representa cada elemento por el mismo número de caracteres. El más conocido es el código ASCII (siglas de American Standard Code for Information Interchange) que emplea ocho bits, siete para la información y uno para el signo. Otro muy usado es el código decimal codificado en binario, BCD (Binary-Coded Decimal), que representa cada dígito por un grupo de 4 bits. Por ejemplo, en ASCII, la representación de 3 es 011 0011, mientras que en BCD...

Ecuaciones exponenciales

Se llama ecuaciones exponenciales a aquellas en las que la incógnita figura en el exponente de uno o más términos de la ecuación. Fundamentalmente, existen dos clases de estas ecuaciones:. - Tipo 1: Ecuaciones que son una igualdad entre potencias de la misma base o bien que se pueden reducir a esta situación. - Tipo 2: Convertibles a ecuaciones algebraicas mediante un cambio de variable. Seguidamente se analizará cómo resolver cada uno de estos tipos mediante la ayuda de ejemplos. En las ecuaciones del primer tipo, el método utilizado consiste en aplicar las normas de operaciones con potencias a fin de llegar a una expresión del tipo:. P(x) = Q(x). siendo P(x) y Q(x) expresiones algebraicas de la incógnita, x, con lo que se logrará una ecuación, también algebraica, que, resuelta, dará la solución del problema. Ejemplo. Resolver la ecuación:. a(b – x)·x = ax. Si dos potencias son iguales y sus bases son las mismas, sus exponentes deben ser iguales, luego:. (b – x)·x = x. ...

Ecuaciones logarítmicas

Se llama ecuaciones logarítmicas a aquellas en las que la incógnita viene afectada por el símbolo log. Su resolución se basa en la equivalencia siguiente:. Por tanto, el método de resolución es reducir a logaritmo único ambos miembros y prescindir a continuación del símbolo log. Ello se logra aplicando las reglas de operaciones con logaritmos que son:. Problema 1. Resolver la ecuación:. log 3x = log 6 + 2 log x. Solución. Recordando las operaciones con logaritmos:. Luego:. 3x = 6x2. Al resolver esta ecuación se obtienen dos soluciones: x = 0 (se desprecia por no ser real el log 0) y x = , que es la correcta. Problema 2. Resolver la ecuación:. Solución. La ecuación puede ser escrita como:. log 2 + log (11- x2) = 2·log (5 – x). Recordando las reglas para operar con logaritmos:. 22 – 2x2 = 25 + x2 – 10 x. Resolviendo esta ecuación se obtienen las siguientes soluciones:. A partir de las ecuaciones logarítmicas pueden plantearse problemas en los que sea preciso resolver...

El número e

El número e. Leonhard Euler, nacido en Suiza y viajero incansable a lo largo de su vida, pasa por ser el matemático más prolífico de la historia. Su talento extraordinario y su incansable curiosidad le llevaron desde las enseñanzas de un gran maestro de las matemáticas, Jean Bernoulli, a indagar en el cada vez más extenso territorio de estas ciencias que se abría ante su mirada. El nombre de Euler aparece actualmente asociado a una infinidad de teoremas, principios, leyes y teorías en numerosas disciplinas. Del análisis matemático a la física de fluidos o la mecánica, la ingeniería y la arquitectura, el electromagnetismo o la matemática pura, numerosas fórmulas rinden tributo al trabajo realizado por este hombre genial a lo largo de todo el siglo XVIII. No extraña, por tanto, que de su inmensa creatividad surgiera la que ha sido llamada ecuación más bella de las matemáticas. Es la siguiente:. e iπ = –1. En esta sencilla formulación intervienen la unidad y tres de los números más...

Logaritmos naturales y neperianos

Logaritmos naturales y neperianos. Finalizada la Edad Media, la ciencia y la técnica comenzaron a desarrollarse en Europa de forma considerable. Áreas tan dispares como la agrimensura, la navegación, la astronomía y el comercio empezaron a necesitar complejos cálculos trigonométricos realizados con la mayor precisión posible. A menudo se requerían semanas e incluso meses para completar estos cálculos, lo que absorbía buena parte de la producción de técnicos y científicos. En este contexto, la invención de los logaritmos a comienzos del siglo XVII ofreció una de las mejores herramientas de cálculo de que se ha dotado el ser humano hasta la llegada de la calculadora electrónica. El inglés John Napier, también conocido como John Neper, un científico que demostró un interés en la matemática sólo secundario, fue el primero en aprovechar el uso de la notación científica como un medio de simplificar tales cálculos. Napier elaboró un método de calcular exponentes fraccionales para los...

Número e

El número e es la base de los logaritmos neperianos y resulta esencial en el planteamiento de ecuaciones exponenciales. Como tal, es una de las cantidades singulares del mundo de las matemáticas y tiene una amplia utilización en la formulación matemática de los principios físicos. Habitualmente definido como:. el número e es inconmensurable, comprendido entre 2 y 3, y cumple la denominada identidad de Euler, cuya expresión es:. Son abundantes las implicaciones de este número en diversos fenómenos. En biología, por ejemplo, aparece cuando se estudia el crecimiento de una población de bacterias, siempre que no se introduzcan factores limitantes del mismo, o bien cuando se data un fósil, mediante la técnica del carbono-14, un isótopo radiactivo del carbono. En técnicas forenses aparece en la fórmula que permite determinar el momento de la muerte de una persona. El número e aparece también en el estudio de las catenarias. Una catenaria es la línea que adopta un hilo homogéneo y...

Número y numeración

«Todo es número», proclamaban en la antigüedad los discípulos del sabio griego Pitágoras. Más de veinte siglos después, aquel lema de las hermandades pitagóricas reverdece como nunca en la realidad corriente. Hoy todo está reglado por cantidades numéricas: la mayor altura de la corteza terrestre (en el Everest, 8.848 m) o su máxima profundidad (en las fosas Marianas del Pacífico, 11.034 m), la población y el producto nacional bruto, las cotizaciones bursátiles y los índices de la audiencia televisiva, el tiempo parcelado al minuto de la jornada diaria o los récords mundiales de atletismo. La ubicuidad del número penetra los intersticios de la vida cotidiana desde la administración y contabilidad de las empresas a la identificación en pasaportes, matrículas automovilísticas o libretas bancarias. El número es quizá la idea esencial de la matemática, el primer concepto y el más necesario. Sobre su base se sustentan disciplinas como la aritmética, el álgebra y el cálculo. Aportar una...

Números primos y compuestos

Por definición, un número primo es aquel que sólo admite como divisores el propio número y la unidad. En el caso de números sencillos (3, 5, 7, 11...) es fácil ver si un número es primo o no, pero la cuestión se complica para números aun relativamente pequeños. El primer método para la determinación de números primos fue la llamada criba de Eratóstenes. Supóngase que se quieren conocer los primos existentes entre los 100 primeros naturales. Se escribirán esos números y luego se irán tachando de dos en dos (con lo que se suprimirán los múltiplos de 2), después de tres en tres (con lo que se eliminarán los múltiplos de 3), etc. Al final, los números que queden sin tachar son los primos incluidos en el conjunto considerado. El método es laborioso, sobre todo para números algo grandes. Por ello, es más recomendable aplicar la siguiente regla: para determinar si un número es o no primo, se va dividiendo sucesivamente por los primos 2, 3, 5, 7... Si no se obtiene división exacta, se...

Números racionales

Los números racionales, que conforman un conjunto matemático denotado habitualmente por la letra Q, son aquellos susceptibles de expresarse por medio de una fracción del tipo , siendo a y b dos números enteros. Seguidamente, se considerará una propiedad de notable interés dentro de este conjunto que permite realizar tres operaciones de máxima utilidad: la reducción de fracciones a igual denominador, la comparación de fracciones y la simplificación de expresiones racionales. En primer término, se dice que dos fracciones son equivalentes cuando se verifica que:. a · d = b · c. Esta característica también puede enunciarse diciendo que, en dos fracciones equivalentes, el producto de los medios (b y c) es igual al producto de los extremos (a y d). La propiedad fundamental de los números racionales afirma que si se multiplican o dividen los dos miembros de una fracción por el mismo número, la fracción obtenida es equivalente a la primera. Por ejemplo, si se multiplican por 5 los dos...

Operaciones con complejos

Con frecuencia, en muchas ramas de la ciencia diversas magnitudes vienen representadas por números complejos que se suelen expresar en representación de Argand, es decir mediante su módulo (r) y su argumento (w). Para operar con ellos, deben seguirse estas reglas:. Suma o resta. No está definida en esta forma. Producto. El complejo resultado tiene por módulo el producto de los módulos y por argumento la suma de los argumentos. Por ejemplo:. Cociente. El complejo resultante de dividir dos complejos tiene por módulo el cociente de los módulos y por argumento la diferencia entre los argumentos de dividendo y divisor. Por ejemplo:. Potencia. Para elevar un complejo en forma de Argand a una potencia, se eleva el módulo a dicha potencia y se multiplica el argumento por el correspondiente exponente. Esta expresión se conoce como fórmula de Moivre. Por ejemplo:. Raíz. Se aplica la siguiente fórmula:. Dando a k los valores o, 1, 2, ..., n – 1, se logran las n raíces del complejo en...

Problemas de números complejos

Para facilitar la comprensión y el manejo de los números complejos, se considerará un conjunto de cuestiones relativas a los mismos y representativas de sus aspectos más notables. Problema 1: Dado el cociente de complejos , calcular a para que el resultado sea: a) un número real; b) un número imaginario puro. Solución:. Se realiza el cociente indicado:. a) Si el resultado es un número real, la parte imaginaria debe ser nula, luego:. b) Si el resultado es imaginario puro, la parte real debe ser nula, luego:. Problema 2: La suma de dos números complejos es 3 + 2i, la parte real de uno de ellos es 2 y su cociente es imaginario puro. Hallarlos. Solución: Sean los números buscados 2 + ai y m + ni. Según el enunciado:. Es decir:. y:. (1). Por otra parte:. debe ser imaginario puro, luego su parte real debe ser nula, por lo que:. (2). Resolviendo el sistema formado por (1) y (2):. Problema 3: Resolver la ecuación x3 + 1 = 0. Solución: Despejando x :. El número real –1 se...

Problemas de progresiones aritméticas

Antes de iniciar la resolución de algunas cuestiones de este tipo, debe decirse que en los problemas de progresiones aritméticas en los que intervienen tres términos suele ser aconsejable tomar éstos como:. a – d; a; a + d. Las expresiones anteriores forman una progresión aritmética de razón d indican tres cantidades desconocidas con una sola incógnita y, por su simetría, son de operatoria fácil y ventajosa. Problema 1: La suma de tres números en progresión aritmética es 15 y la suma de sus cuadrados es 83. Hallarlos. Solución: Sean los tres números buscados:. a – d, a, a + d. Según el enunciado:. a – d + a + a + d = 15. Pero también:. Por lo que los números buscados serán, para a = 5 y d = 2. 3, 5, 7. y, para a = 5 y d = -2:. 7, 5, 3. Problema 2: En una progresión aritmética de diferencia 3, la suma de sus términos es 2.540, siendo el último término 122. Calcular el número de términos de la sucesión. Solución. En una progresión aritmética, se sabe que:. an = a1 + d...

Problemas de progresiones geométricas

Antes de iniciar la resolución de algunas cuestiones de este tipo, debe decirse que en los problemas de progresiones geométricas en los que intervienen tres términos, suele ser aconsejable tomar éstos como:. Las tres expresiones anteriores están en progresión geométrica de razón r y presentan dos claras ventajas:. Permiten expresar tres cantidades desconocidas con sólo dos incógnitas (a y r). Presentan en su conjunto una evidente simetría operatoria, por lo que es fácil que en el transcurso de un problema surjan simplificaciones. Problema 1: Hallar tres números en progresión geométrica, sabiendo que su suma es 65 y su producto 3.375. Solución: Sean los tres números buscados:. Como su producto es 3375:. · a · a · r = 3.375. Dado que su suma es 65:. Resolviendo esta ecuación de segundo grado, se obtiene para r las soluciones r = 3 y r = . Tomando la primera posibilidad (a =15 y r = 3), los números buscados son: 5, 15, 45. Tomando la segunda posibilidad (a = 15 y r = ), los...

Problemas de radicación

Seguidamente se contemplarán algunas cuestiones relacionadas con la radicación. En primer lugar, se considerará la llamada propiedad fundamental de la radicación, la cual afirma que si se multiplica o divide el índice de una raíz y el exponente del radicando por un mismo número, el valor de la raíz no se altera. Es decir:. y. Esta propiedad tiene dos aplicaciones prácticas importantes: la reducción de radicales a índice común y la simplificación de radicales. Para reducir radicales a índice común se halla, en primer lugar, el mínimo común múltiplo de los índices existentes, que será el nuevo índice común. A continuación, para calcular los exponentes de los radicandos se divide en cada radical el índice nuevo entre el primitivo y el resultado se multiplica por el exponente antiguo del radicando, obteniéndose así el nuevo. Problema: Reducir a índice común. Como m.c.m. (6, 3, 4) = 12, ese será el nuevo índice común. Se calcularán ahora, según lo dicho, los nuevos exponentes del...

Problemas del número e

La primera regla para resolver límites consiste en sustituir la variable de su término general (casi siempre n o x) por el valor a que dicha variable tienda. De esta forma, se llegará al límite buscado o bien (esto es lo más frecuente) a una indeterminación. Cada indeterminación tiene una manera peculiar de resolverse. En este caso, se analizarán límites que conducen a la indeterminación . Cuando se esté ante esta indeterminación, debe recordarse que una forma cómoda de resolverla es expresar que el resultado del límite que la produce es igual al número e, elevado al límite del producto del exponente del término general de la sucesión por la base del mismo, disminuida en una unidad. En todos los límites que van a aparecer, salvo indicación en contra, se considera que , lo que no se va a expresar para una mayor simplificación de las expresiones. Problema 1. Hallar:. Aplicando la norma dada:. Problema 2. Hallar:. El límite se puede expresar también como:. En este último límite,...

Progresiones aritméticas y geométricas

Progresiones aritméticas y geométricas. El anecdotario de la genial precocidad del matemático Carl Friedrich Gauss cuenta que, en 1787, cuando éste contaba con diez años de edad, el maestro de la escuela a la que acudía en la localidad alemana de Brunswick propuso como ejercicio a los alumnos que realizaran la suma de los cien primeros números naturales. Mientras sus compañeros se afanaban en realizar la suma elemento por elemento, Gauss se dedicó a examinar la sucesión de forma global y encontró un modo de realizar el ejercicio requerido mediante una única operación matemática. Descubrió que la serie en cuestión:. 1 + 2 + 3 + ...+ 98 + 99 + 100. puede reordenarse como:. (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51). donde cada uno de los paréntesis arroja el mismo resultado, 101. Así, la suma es 101 · 50 = 5.050. Sin saberlo, había descubierto por primera vez el método para realizar la suma de una serie de los términos en una progresión aritmética. Sucesiones. En...