Aplicaciones y funciones

El carácter abstracto y complejo del razonamiento matemático ha llevado a menudo a plantear argumentaciones aparentemente contradictorias que alimentan un extenso repertorio de curiosidades matemáticas. Uno de ellos es la denominada paradoja de Galileo.

En Dos nuevas ciencias, trabajo postrero en la vida de este sabio del siglo XVII, se plantea una afirmación paradójica dentro del conjunto de los números enteros. Como ya se sabe, algunos enteros son cuadrados perfectos, como 4, 9, 16, 25, 36, etc. Ello significaría que el conjunto de los números cuadrados es menor en número de elementos que el de los números enteros, que los incluye a ellos pero también a los no cuadrados.

Sin embargo, por cada número cuadrado existe un número entero que es su raíz cuadrada (por ejemplo, 4 es cuadrado de 2, 9 de 3, etc.), y por cada entero hay exactamente un cuadrado. Ello significaría que no debería haber mayor número de unos que de otros, en una asociación entre elementos «uno a uno» que se define matemáticamente como aplicación biyectiva. Galileo explicó esta paradoja indicando que no debería aplicarse la noción de igualdad, mayor o menor de los cardinales a los conjuntos con infinitos elementos. Otros investigadores se inspiraron en ella para indagar en la esencia del concepto de infinito.

Correspondencias, aplicaciones y funciones

La definición de correspondencias, aplicaciones y funciones entre conjuntos es uno de los aspectos más interesantes del álgebra y establece un puente de unión con los conceptos y definiciones propios del análisis matemático y el cálculo. En esta disciplina se utilizan conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, reales, complejos) con un fundamento y un lenguaje descriptivo compartido con el álgebra.

Para entender la noción de correspondencia es preciso recordar la idea de producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B no vacíos, denotado como A × B, es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse tomando como primera componente un elemento de A y como segunda componente un elemento de B. En lenguaje algebraico:

A × B = {(a, b) / a A b B}

Entonces, se llama correspondencia entre los conjuntos A y B a cualquier subconjunto del producto cartesiano A × B. Por ejemplo, si A = {1, 2, 3, 4} y B = {x, y, z}, el producto cartesiano de A × B contendría los elementos siguientes:

A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z), (3, x), (3, y), (3, z), (4, x), (4, y), (4, z)}

Una correspondencia posible entre A y B sería, por ejemplo, el conjunto:

C = {(1, x), (1, y), (2, x), (3, x), (3, y), (3, z), (4, x)}

dado que C es un subconjunto de A × B, es decir: C A × B. En la figura 1 se ilustra una representación de la correspondencia C en forma de ejes cartesianos.

Representación de la correspondencia C en forma de ejes cartesianos.

En la figura 2 se ilustra la representación sagital de la correspondencia, con ayuda de diagramas de Venn.

Representación de la correspondencia C mediante un diagrama sagital.

La correspondencia se indica como f: A B, o bien , de manera que, por ejemplo, al elemento 1 de A le corresponden los elementos x e y de B. Dicho en lenguaje algebraico, el elemento origen 1 tiene como imágenes los elementos x e y, o bien:

f(1) = [x,y]

f(2) = x

f(3) = [x,y,z]

f(4) = x

El conjunto A se llama inicial y el B recibe el nombre de conjunto final. Los elementos de A que tienen imagen en B constituyen el conjunto origen de la correspondencia, denotado como orig (f). Los elementos de B que son imagen de algún elemento de B forman el conjunto imagen de la correspondencia, o img (f). En el ejemplo expuesto, el conjunto origen coincide con A, pues todos los elementos de A tienen alguna imagen en B; asimismo, img (f) = B, dado que no hay ningún elemento de B que no sea imagen de alguno de A.

Sin embargo, no siempre sucede así. Por ejemplo, si se establece una correspondencia entre el conjunto de los alumnos de una clase y el conjunto de las notas (del 0 al 10) de un examen, puede darse perfectamente el caso de que ningún alumno saque un 0; entonces, el conjunto imagen de la correspondencia no coincidiría con el conjunto completo de las notas del examen.

Por otra parte, si alguno de los alumnos no se presentara al examen, por enfermedad u otra razón, quedaría sin calificar. Entonces, no todos los elementos del conjunto de los alumnos de la clase tendrían imagen (calificación, en este caso) en el conjunto de las notas.

Aplicaciones

En el ejemplo que cerraba el apartado anterior, supóngase que un centro educativo no consiente que un alumno quede sin calificar en un examen, dándole ocasión de realizar la prueba en cualquier otro momento, si le fue imposible acudir en la fecha establecida. En tal caso, todos los alumnos del conjunto de la clase en cuestión tendrían nota en el examen y, naturalmente, una sola calificación en el mismo.

Tal es la idea subyacente al concepto de aplicación entre dos conjuntos: una correspondencia en la que todos los elementos del conjunto inicial tienen imagen, y sólo una, en el conjunto final. Los diagramas sagitales permiten comprender rápidamente si una correspondencia es o no una aplicación (v. los tres ejemplos de la figura 3).

De estas tres correspondencias, sólo la del ejemplo 1 es una aplicación.

La correspondencia del ejemplo 1 es una aplicación, pues cumple los dos requisitos: todos los elementos de A tienen imagen en B y a cada elemento de A le corresponde una sola imagen. En cambio, las correspondencias de los ejemplos 2 y 3 no son aplicaciones: en el segundo, el elemento b de A tiene dos imágenes (1 y 2); en el tercer ejemplo, el elemento b de A no tiene imagen en el conjunto B.

Es posible distinguir varias clases de aplicaciones entre conjuntos que difieren en sus características. Estas clases son: constante, inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. El caso más sencillo, el de una aplicación constante, es aquél en el que todos los elementos del conjunto origen tienen siempre una misma imagen en el conjunto final.

Por otra parte, la aplicación se dice inyectiva si todos los elementos del conjunto final son imagen como máximo de un elemento origen. Así, la aplicación del ejemplo 1 anterior no es inyectiva, ya que el elemento 1 de B es imagen de dos elementos (a y c) del conjunto origen.

Visualmente, en los diagramas sagitales representativos de una aplicación inyectiva, a los elementos del conjunto imagen llegan una o ninguna flecha (v. figura 4).

En una aplicación inyectiva, a cada elemento del conjunto imagen llega como mucho una flecha.

En lenguaje algebraico, puede escribirse:

f = A → B es inyectiva a,b A / f(a) = f(b) a = b

Es decir, si las imágenes de dos elementos a y b son iguales, a y b han de ser necesariamente el mismo elemento de A.

Análogamente, una aplicación es sobreyectiva o suprayectiva si todos los elementos del conjunto final son imagen de al menos un elemento del conjunto origen. En un diagrama sagital, las aplicaciones sobreyectivas se distinguen porque a cada elemento del conjunto final llegan obligatoriamente una o más flechas (v. figura 5).

En una aplicación sobreyectiva, a todos los elementos del conjunto imagen llega al menos una flecha.

Cuando una aplicación es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo, se dice biyectiva. Por tanto, en las aplicaciones biyectivas cada elemento del conjunto final es imagen de uno y sólo un elemento del conjunto inicial. En los diagramas sagitales, a todos los elementos del conjunto final de una aplicación biyectiva llega siempre una sola flecha (v. figura 6).

Las aplicaciones biyectivas son inyectivas y sobreyectivas a la vez: a cada elemento del conjunto imagen le llega siempre una única flecha.

Es evidente que para que una aplicación sea biyectiva resulta imperativo que los conjuntos inicial y final tengan el mismo número de elementos o cardinal. Un ejemplo típico de aplicación biyectiva es el de los conjuntos de los países del mundo y sus capitales administrativas: todos los países tienen una, y sólo una, capital.

Funciones

En el ámbito de las matemáticas, tiene especial interés el caso en el cual los conjuntos origen e imagen de una correspondencia en la que cada elemento origen tiene una sola imagen son conjuntos numéricos, preferentemente el de los números reales o uno de sus subconjuntos. Esta entidad se denomina función.

Por tanto, una función es una correspondencia entre dos conjuntos de números que ha de cumplir la condición de unicidad, es decir:

f: A B f(x) = y f(x) = z y = z

Con ello se indica que la imagen de cada elemento del conjunto objeto es única, y se suele denotar como y = f (x). En este caso, el conjunto origen se denomina dominio de definición de la función y el conjunto imagen se conoce como recorrido. Los elementos del conjunto origen son las variables independientes de la función; los del recorrido o imagen son las variables dependientes de las anteriores. En la sección cuarta de esta obra se realiza una exposición exhaustiva de las funciones y de sus propiedades, operaciones y particularidades.

Relaciones de orden y equivalencia

Dentro de un mismo conjunto es posible establecer ciertas relaciones que permiten simplificar cálculos, modelos y proposiciones teóricas. En el conjunto de los números racionales se define una relación entre ciertas fracciones como, por ejemplo, las siguientes:

De este modo, las fracciones 2/7 y 2020/7070 son equivalentes, están afectadas por una relación de equivalencia tal que su uso es indistinto en los cálculos corrientes. La ventaja es muy obvia: resulta mucho más sencillo operar con 2/7 que con 2020/7070. La serie de fracciones enumerada constituye una clase de equivalencia. Esta breve introducción sirve para presentar las dos formas de relaciones más importantes establecidas en este contexto: de orden y de equivalencia.

En general, para indicar que dos elementos x, y de un conjunto A dado están afectados por una relación R se usan las siguientes notaciones: x R y, o bien (x, y) R. Se dice entonces que una relación R es de orden cuando cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. En cambio, la relación R será de equivalencia si verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

La propiedad reflexiva, que es común a las relaciones de orden y de equivalencia, supone que todo elemento x del conjunto debe estar relacionado consigo mismo:

x A, x R x

Se cumple la propiedad antisimétrica, característica de las relaciones de orden, si dados dos elementos x, y del conjunto A, el hecho de que x R y e y R x implica necesariamente que x e y son iguales. En lenguaje algebraico:

x,y A, si x R y y R x x = y

Una relación verifica la propiedad simétrica, propia de las relaciones de equivalencia, cuando dados x, y A, si x está relacionado con y, entonces y estará relacionado también con x. En el lenguaje matemático específico:

x,y A, si x R y y R x

Finalmente, por la propiedad transitiva (compartida por las relaciones de orden y de equivalencia), si un elemento x de A está relacionado con y, y éste se encuentra relacionado con z también de A, ello supondrá que x está vinculado con z por la misma relación R. Es decir:

x,y,z A, si x R y y R z x R z

Un ejemplo clásico de relación de orden en el conjunto de los números naturales N es la de menor o igual (<), pues cumple las tres propiedades citadas:

  • Reflexiva: x N,x < x (en concreto, x = x).

  • Antisimétrica: x,y N, si x < y y < x x = y

  • Transitiva: x,y,z N, si x < y y < z x < z

Por su parte, la operación de igualdad (=) entre números naturales es un ejemplo típico de relación de equivalencia, dado que verifica las tres propiedades enunciadas:

  • Reflexiva: x N, x = x

  • Simétrica: x,y N, si x = y y = x

  • Transitiva: x,y,z N, si x = y y = z x = z

Clases de equivalencia y conjunto cociente. Dado un conjunto A en el que se ha definido una relación de equivalencia R, se llama clase de equivalencia (Ca) de un elemento a A al conjunto de todos los elementos relacionados con a mediante R. Es decir:

Ca = {x A / x R a}

El ejemplo de las fracciones con que se abría este apartado ofrece un caso común de clases de equivalencia. Análogamente, el conjunto cociente de A por la relación R, denotado como A/R, se define como el formado por todas las clases de equivalencia de los elementos de A. En lenguaje algebraico:

A / R = {Ca, a A}

Composición de aplicaciones

Las aplicaciones entre conjuntos pueden encabalgarse o ejercerse sucesivamente en una entidad denominada composición de aplicaciones. Dados tres conjuntos A, B, C, no vacíos y relacionados por dos aplicaciones sucesivas f y g tales que:

f: A B

g: B C

la composición de aplicaciones f y g, denotada por g o f, es una nueva aplicación que hace corresponder a los elementos de A elementos de C tales que:

z = g(y) = g[f(x)] = (g f)(x)

El estudio de las leyes de composición derivadas de esta definición y la creación a partir de ellas de estructuras algebraicas constituyó una de las ramas de más afortunado desarrollo de las matemáticas a partir del siglo XIX. El esquema de la figura 7 ilustra gráficamente el concepto de composición de aplicaciones.

Composición de aplicaciones.

En este contexto pueden definirse dos clases de leyes de composición de aplicaciones: internas y externas. Se denomina ley de composición interna, u operación interna, en un conjunto dado A no vacío a toda aplicación del producto cartesiano A × A tal que todos los elementos imagen de la aplicación pertenecen a A.

Por ejemplo, la suma es una ley de composición interna dentro de los números naturales, dado que al sumar dos de estos números cualesquiera se obtiene siempre otro número natural. En cambio, la resta no es una operación interna en este mismo conjunto, pues al restar un número natural de otro menor que él se obtiene un número negativo, que no pertenece a Nsino a Z (números enteros).

Por su parte, las leyes de composición externa son aquellas operaciones definidas como aplicación desde el producto cartesiano de dos conjuntos, K × A, de manera que la imagen obtenida sea siempre un elemento de A (siendo A un conjunto no vacío).

Propiedades de las leyes de composición interna

Desde el punto de vista de la definición de estructuras algebraicas, es particularmente importante estudiar las propiedades de las leyes de composición interna. Dichas propiedades son la asociativa, la conmutativa y las referentes a la existencia de elemento neutro y simétrico. Finalmente, debe exponerse la descripción de la llamada propiedad distributiva entre dos leyes internas definidas para un mismo conjunto.

En la explicación de estas propiedades se ofrecerá primero un enunciado general seguido de un ejemplo relativo a la ley de composición interna de la suma dentro del conjunto de los números naturales ampliado con el cero, N+. Si una ley de composición interna se escribe en general como:

T: A × A A / T(a,b) = c A, a,b A

la suma en el conjunto de los números naturales ampliado se expresa como:

+: N × N N / +(a,b) = a + b = c N, a,b N

Se dice que una ley de composición interna T definida en un conjunto A cumple la propiedad asociativa si para tres elementos cualesquiera a, b, c de A se cumple que:

a,b,c A:(a T b) T c = a T (b T c)

En la suma definida en el conjunto de los números naturales, esta propiedad es muy conocida:

n,m,p N:(n + m) + p = n + (m + p)

La ley de composición interna es conmutativa si al operar dos elementos del conjunto origen, no importa el orden en que se manejen. Es decir:

a,b A: a T b = b T a

En la suma de números naturales, la propiedad conmutativa se expresa como n + m = m + n. Se dice, por otra parte, que la ley de composición interna T tiene elemento neutro e en A si al operar cualquier elemento a de A con dicho neutro a permanece invariable. Es decir:

a A e A / a T e = e T a = a

Cuando en una composición interna existe el elemento neutro, éste es único. Para la suma de números naturales considerada, el elemento neutro es el 0 que, sumado a cualquier otro número natural, produce este número como resultado.

Se dice además que la composición interna tiene elemento simétrico de a, denotado por a, cuando al operar ambos entre sí producen el elemento neutro:

a A a’ A / a T a’ = a’ T a = e

La suma de números naturales carece de elemento simétrico, pues ningún número natural sumado a otro produce el cero. En cambio, sí existe elemento simétrico para la operación suma en el conjunto de los números enteros Z, ya que:

n Z n’ Z / n + n’ = n’ + n = 0, siendo n’ = –n

Por convención, los elementos simétricos se denominan opuestos en las operaciones de suma e inversos en las de producto o multiplicación. Finalmente, la propiedad distributiva compete a la combinación entre dos leyes de composición interna. Por ejemplo, en el conjunto de los números enteros Z pueden definirse dos leyes de composición interna, la suma (+) y el producto (·). En este caso, se cumple la propiedad distributiva de la suma respecto al producto, ya que:

n,m,p Z: n · (m + p) = n · m + n · p