Aritmética

Parte de las Matemáticas que se ocupa del estudio de los números. Sus principios están ligados a los albores de la Humanidad, ya que muy pronto el hombre necesitó cuantificar para fijar las dimensiones de su patrimonio. Está claro que aquel hombre prehistórico, ganadero, necesitaba saber el número de ovejas que poseía, la cantidad de pieles de que disponía, etc. De esta manera, surgieron los números naturales (N), a los que hoy día definimos como enteros y positivos y que son los que nos sirven para contar.

Aunque en un primera situación, las familias eran unidad de producción y de consumo, la división del trabajo estableció una especialización que condujo a una superproducción. De esta forma, sucedía, por ejemplo, que un determinado grupo familiar tenía exceso de leche pero carencia de pieles y otro estaba en la situación opuesta. La necesidad de conseguir aquello de lo que se carecía fue el origen del comercio, basado en un principio en el trueque.

En cualquier actividad comercial, hay unos ingresos y unas salidas. Pronto, los números naturales no bastaron para satisfacer las necesidades de cálculo que se planteaban, por lo que hubo que introducir un segundo tipo de números, los negativos, que, junto a los anteriores, formaron el conjunto de los números enteros (Z). Entre positivos y negativos, se estableció, si bien se ignora por quién, un elemento de separación: el cero.

Nuevas necesidades humanas hicieron necesario el reparto de cantidades, lo que se solucionó mediante un nuevo tipo de números, los racionales (Q).

Pitágoras y su escuela establecieron la idea de que todo era medible, pero al comparar la diagonal de un cuadrado de lado unidad con dicho lado, observaron que aquella no contenía a éste un número determinado de veces. Esos números que violaban la norma, que estaban, por lo tanto, locos, fueron llamados irracionales.

El conjunto que engloba a todos los descritos hasta ahora se denomina de los números reales ( ), aunque pronto se mostró insuficiente al no ser capaz de resolver el problema de la radicación de índice par y radicando negativo, por lo que hubo que idear otro tipo de números, los números complejos (C) basados en la existencia de una unidad imaginaria, i, tal que i2 = -1.

Con todos esos números, la aritmética define siete operaciones fundamentales: suma, resta, producto, cociente, potenciación, radicación y logaritmación.

Formulario de aritmética

Potenciación

Producto

am · an = am+n

Cociente

am : an = am-n

Potencia

(am)n = am·n

Potencia de exponente negativo

Potencia de exponente nulo

a0 = 1

Potencia de exponente fraccionario

Números racionales

Propiedad fundamental

Igualdad de fracciones

Suma de fracciones

(*)

Resta de fracciones

(*)

Producto de fracciones

Cociente de fracciones

Potencia de una fracción

Raíz de una fracción

La fracción opuesta a es -

La fracción recíproca o inversa de es

(*): Operación sólo posible cuando las fracciones tienen igual denominador.

Radicación

Definición

Propiedad fundamental

Producto de radicales

(*)

Cociente de radicales

(*)

Potencia de un radical

Raíz de un radical

(*): Operación sólo posible si los radicales tienen el mismo índice.

Números complejos

Forma binómic

Igualdad

(a + bi) = (c + di) a = c; b = d

Suma

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Resta

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Producto

(a + bi) · (c + di) = (a · c – b · d) + (a · d + b · c)i (1)

Cociente

(2)

El conjugado de (a + bi) es (a – bi)

El opuesto de (a + bi) es (-a – bi)

Forma trigonométrica

Producto

Cociente

Potencia

(Fórmula de Moivre)

Raíz

(1): Para realizarlo, se aplica la propiedad distributiva.

(2): Para efectuarlo, se multiplica numerador y denominador por la conjugada del denominador

Nota: Para hallar la potencia de un complejo en forma binómica, se aplica el desarrollo del binomio de Newton. Para hallar su raíz, se le pasa a forma trigonométrica.

Progresiones aritméticas

Término enésimo (an)

an = a1 + d · (n – 1)

(d = diferencia; a1 = primer término; n = número de términos)

Diferencia

Número de términos

Propiedad

ah + ak = a1 + an (*)

Término central (ac)

(an = último término)

Suma de los términos (S)

(*): Siendo ah y ak dos términos equidistantes de los extremos, los cuales son a1 y an, respectivamente

Progresiones geométricas

Término enésimo (an)

an = a1 · rn-1

(a1 = Primer término; r = Razón; n = Número de términos)

Razón

r =

Número de términos

Propiedad

ah · ak = a1 · an (1)

Término central (ac)

(an = último término)

Suma de los términos (S)

Producto de los términos (P):

Suma de los términos de una progresión geométrica indefinida (S):

(2)

(1): Siendo ah y ak términos equidistantes de los extremos y a1 y an dichos extremos.

(2): Siempre que r < 1

Logaritmos

Definición

logb x = y by = x

Logaritmo de 1

logb 1 = 0

Logaritmo de la base

logb b = 1

Logaritmo del producto

logb (x · y ) = logb x + logb y

Logaritmo del cociente

logb = logb x – logb y

Logaritmo de la potencia

logb xn = n · logb x

Logaritmo de la raíz

Cambio de base

Número e

Definición

Propiedad

Nota: La indeterminación que plantea el número e es .