Aplicaciones vectoriales

Se llama observable a todo fenómeno detectable por los sentidos. Cuando un observable es medible, recibe el nombre de magnitud. Así, por ejemplo, la belleza es un observable, pero no una magnitud. Sin embargo, la masa de un cuerpo y la velocidad de un móvil son magnitudes.

Las magnitudes son de dos tipos: escalares y vectoriales. Las primeras quedan perfectamente determinadas por un solo dato (su valor). Por ejemplo, la altura de un edificio, el volumen de agua en un recipiente, etc. Este valor se determina por medio de un número real por lo que, frecuentemente, estas magnitudes se conocen por escalares.

Una magnitud vectorial, por el contrario, es la que no queda determinada por un solo dato. Por ejemplo, si un piloto que va a despegar conoce únicamente que el viento sopla a 40 km/h, su información será incompleta, porque además del valor de esa velocidad necesitará saber si es de componente norte, sur, etc.

Las magnitudes vectoriales se representan por medio de unos segmentos orientados que se llaman vectores. El hecho de que un segmento sea orientado significa que se establece diferencia entre sus extremos, lo cual se indica representando uno de ellos por medio de un trazo y el otro por una punta de flecha.

dirección

Intensidad

En un vector se distinguen los siguientes elementos:

  • Intensidad: es el valor de la correspondiente magnitud. Se mide por la longitud del vector.

  • Dirección: es la recta que contiene al vector.

  • Sentido: el que marca la flecha. No se debe confundir con la dirección. Los dos siguientes vectores tienen la misma dirección, pero distinto sentido.

  • Punto de aplicación: punto en el que “nace” el vector. Coincide con el extremo no terminado en una punta de flecha.

Los vectores tienen un amplio campo de aplicaciones en matemáticas y física. En matemáticas se usan profusamente en geometría y en álgebra lineal. En geometría se emplean empleados para indicar posiciones de puntos y ecuaciones de líneas.

P(x,y)

L

Así, por ejemplo, el punto P quedaría definido por el vector . A medida que P vaya cambiando de posición, se irá definiendo una línea, L, cuyos puntos quedarán determinados por su correspondiente vector de posición. Las componentes de dicho vector pueden ser expresadas en función de un parámetro, t, lo que conduciría a las expresiones:

x = f (t)

y = F (t)

que son las llamadas ecuaciones paramétricas de la línea. La eliminación de t entre ambas ecuaciones nos proporcionaría su ecuación cartesiana, es decir, la relación que liga a las abscisas y ordenadas constitutivas de la esa línea.

Especial interés tienen en matemáticas los vectores en el espacio, que se expresan con respecto a un sistema tridimensional de ejes cartesianos.

z

P(x, y, z)

x

y

En álgebra lineal, el concepto de vector permite establecer una importante estructura, el espacio vectorial, de amplia aplicación en cálculo matricial, discusión de sistemas lineales, etc.

En física, son múltiples las aplicaciones de los vectores. Así, en cinemática la posición de un móvil, al ir describiendo una trayectoria, puede quedar determinada por su vector posición. Si se toma como parámetro el tiempo (al ir variando éste, lo hará la posición del móvil), las correspondientes ecuaciones paramétricas se dicen leyes horarias y permiten determinar el lugar que ocupa el móvil en cada instante. También en cinemática, velocidad y aceleración son magnitudes vectoriales, determinables por derivación a partir de las leyes horarias.

En estática y dinámica, las fuerzas se representan por vectores, lo que permite establecer una serie de conceptos, principios y teoremas, aprovechando las características de estos entes. Por ejemplo, pueden citarse las condiciones de equilibro de un cuerpo (resultante nula de las fuerzas a él aplicadas y momento resultante de dichas fuerzas también nulo).

Los principios newtonianos de la fuerza constante y de acción y reacción son también fácilmente expresables mediante la idea vectorial de fuerza y algunas magnitudes derivadas, como la cantidad de movimiento (m ) también son de carácter vectorial. Asimismo, en electricidad (reactancia, conductancia, impedancia) o en magnetismo las magnitudes vectoriales encuentran una amplia utilización.