Cambio de sistemas referenciales

En el plano, e igualmente, en el espacio, un punto puede estar referido a diferentes sistemas. Si se consideran los cartesianos, sus coordenadas (que son las distancias a los ejes OX y OY) serán diferentes, según la posición que ocupen

X’

Y Y’ P

b b’ a’

O’

O X

a

Por ejemplo, como se ve en la figura, el punto P con respecto al sistema XOY es P(a, b), mientras que, respecto a X’O’Y’ es P(a’, b’). El problema del cambio de sistema de referencia aborda la cuestión de, dadas las coordenadas de un punto en un determinado sistema de referencia, hallar las coordenadas de ese mismo punto con respecto a otro sistema distinto.

Evidentemente, si las coordenadas de un punto cambian según el sistema de referencia que se considere, otro tanto sucede con las ecuaciones de las líneas, también distintas, según el sistema de coordenadas a que se refieran. Ello no quiere decir, sin embargo, que sus propiedades varíen con el cambio de sistema.

Se considerarán los siguientes casos de cambios de sistema de referencia: traslación de ejes, rotación de ejes conservando el mismo origen y rotación de ejes sin conservar el origen. En todos los casos, se llamará x e y a las coordenadas de un punto genérico, con respecto al primer sistema, y x’ e y a las coordenadas del mismo punto respecto al segundo sistema.

  • Traslación de ejes: Los nuevos ejes son, respectivamente, paralelos a los primeros. Si se designa por O(a, b) las coordenadas del nuevo origen, respecto a los ejes primitivos, las ecuaciones de este cambio son:

x = a + x’

(1)

y = b + y’

  • Rotación de ejes conservando el origen. En este caso, siendo el ángulo que forman los ejes OX y OX’ (antiguo y nuevo), las ecuaciones son:

x = x’ cos - y’ sen

(2)

y = x’ sen + y’ cos

Si se prefiere, las coordenadas nuevas en función de las primitivas se escriben:

x’ = x cos + y sen

(3)

y’ = - x sen + y cos

  • Rotación de ejes sin conservar el origen. Designando por el ángulo que forman los ejes OX’ y OX y por O(a, b) el nuevo origen, siendo a y b sus coordenadas con respecto al primero, las ecuaciones del cambio son:

x = a + x’ cos - y’ sen

(4)

y = b + x’ sen + y’ cos

Es decir, expresando las nuevas coordenadas en función de las primitivas:

x’ = (x – a) cos + (y – b) sen

(5)

y’ = - (x – a) sen + (y – b) cos

Problema 1. Calcular las coordenadas de P(- 5, 3) cuando los ejes se trasladan a O(1, 7).

Solución. Aplicando (1):

x = a + x’ -5 = 1 + x’ x’ = -6

y = b + y’ 3 = 7 + y’ y’ = -4

luego en el nuevo sistema es P(-6, -4)

Problema 2. Calcular las coordenadas de P(1, 3), cuando se giran los ejes 60º, conservando el origen.

Solución. Aplicando (3):

x’ = x cos + y sen x’ =1·cos 60 + 3·sen 60 x’=

y’ = - x sen + y cos y’ = - 1·sen 60 + 3·cos 60 y’=

Luego las nuevas coordenadas de P son:

P( , )