Binomio de Newton

El procedimiento matemático conocido como binomio de Newton resuelve el problema de hallar el desarrollo de:

(a + b)n

La consideración de los desarrollos de las diversas potencias de este binomio lleva a establecer que:

(a + b)n = (1)

Se trata, pues, de un polinomio homogéneo, de grado n, cuyo número de términos es igual al exponente del binomio aumentado en una unidad y en el que:

  • El primer elemento es el primer término del binomio elevado a n, mientras que el último es el segundo, también elevado a n.

  • Al pasar de un término al siguiente, el exponente del primer elemento del binomio, a, disminuye en una unidad y el del segundo, b, aumenta en una unidad.

Así, por ejemplo:

(x + y2)5 =

Hallando los valores de los números combinatorios y operando:

(x + y2)5 = x5 + 5x4y2 + 10x3y4 +10x2y6 + 5xy8 + y10

Este desarrollo es molesto porque, una vez planteado, obliga a hallar el valor de los números combinatorios que constituyen sus coeficientes. Para calcular estos números más cómodamente, se recurre al llamado triángulo de Tartaglia, que se forma teniendo en cuenta las dos reglas siguientes:

  1. Todas las filas empiezan y acaban en 1.

  2. Cada elemento se obtiene sumando los dos que tiene encima.

A la vista de estas reglas, el triángulo es:

    1. 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

.................................................

La primera fila da los desarrollos de (a + b)1, la segunda los de (a + b)2, etcétera.

Todo lo expuesto hasta ahora corresponde al desarrollo de un binomio en suma. Si el binomio estuviese en diferencia, se opera igual, sin más que tener en cuenta que se debe alternar los signos más y menos, empezando siempre por el más.

Problema 1. Hallar el desarrollo de (x3 – y)4.

Solución. Teniendo presente los elementos de la cuarta fila del triángulo de Tartaglia y la norma dada para el caso de diferencia:

(x3 – y)4 = (x3)4 – 4(x3)3y + 6(x3)2 y2 – 4 (x3)y3 + y4

Operando:

(x3 – y)4 = x12 – 4x9y + 6x6y2 – 4x3y3 + y4

Un aspecto importante del binomio de Newton es la posibilidad de escribir el término que ocupa un lugar cualquiera, h. Como se deduce de (1) éste será:

Th = (2)

Lógicamente, si se trata de una diferencia, habrá que multiplicar su valor por (-1)n+1.

Problema 2. Hallar el lugar que ocupa el término que contiene x4 en el desarrollo de (2 – x)10.

Solución. El término que ocupa el lugar h es, aplicando (2):

Th =

Como el exponente de x debe ser cuatro, tal y como dice el enunciado:

h – 1 = 4 h = 5

Luego, el término buscado ocupa el quinto lugar en el desarrollo del binomio.